Confidence Intervals & Bootstrap: 解释 delta method 与它的适用条件。

Core Concept: 用一阶泰勒展开把统计量的方差近似为梯度×原方差；需要统计量可微且样本量足够。

delta method 的推导：对统计量 g(θ̂) 在真值 θ 处做一阶泰勒展开：g(θ̂)≈g(θ)+g'(θ)(θ̂−θ)。若 θ̂ 渐近正态（如 MLE），则 g(θ̂) 也渐近正态，方差为 Var(g(θ̂))≈[g'(θ)]²Var(θ̂)。<strong>多元形式</strong>：若 θ̂∈Rᵖ 渐近正态 N(θ,Σ/n)，则 g(θ̂) 的方差为 ∇g(θ)ᵀΣ∇g(θ)/n，其中 ∇g 是梯度（雅可比）。<strong>直观理解</strong>：g 在小邻域内近似线性，故其波动幅度 = 原波动的幅度 × 局部斜率。<strong>适用条件</strong>：① g 在 θ 处<strong>可微且导数非零</strong>（否则一阶项消失，需二阶展开）；② 样本量足够大（保证 θ̂ 已接近 θ，泰勒近似有效）；③ θ̂ 渐近正态。

典型应用与局限：① <strong>比率的方差</strong>——A/B 测试中 CTR=p̂=k/n 的方差用 delta method 得 Var(p̂)=p(1−p)/n（这是直接的二项方差）；对<strong>比值型指标</strong>（如'人均消费 = 总消费/人数'、'CTR/CVR 之比'），delta method 给出 Var(R)≈R²(σ_x²/x̄²+σ_y²/ȳ²−2ρσ_xσ_y/(x̄ȳ))，是工业界计算比值指标方差的标准方法。② <strong>对数变换的方差</strong>——Var(log θ̂)≈Var(θ̂)/θ̂²，这是对数正态推断的基础。③ <strong>失效情形</strong>——(a) g'(θ)=0（如 g(θ)=θ² 在 θ=0 附近）时一阶项为 0，需用二阶 delta method（结果非正态，是卡方型）；(b) 小样本下泰勒近似不准；(c) g 在边界不可微（如 max、绝对值）。④ <strong>与 bootstrap 的取舍</strong>——delta method 快、有解析式，但依赖渐近正态与可微性；bootstrap 更通用（对任意统计量、非正态分布、小样本）但计算贵。实践中：<strong>先试 delta method，若指标复杂/重尾/小样本则用 bootstrap</strong>，并对比两者结果（差异大说明渐近近似不可靠）。⑤ <strong>常见陷阱</strong>——对<strong>重尾指标</strong>（如人均消费）用 delta method 会低估方差（因为方差估计本身不稳定），此时 bootstrap 更可靠。