Hypothesis Testing: 解释贝叶斯因子与假设检验的贝叶斯视角。

Core Concept: 贝叶斯因子 = 两假设下数据的边际似然比；同时支持两个方向，不受'不能证明 H0'的限制。

贝叶斯因子的定义是<strong>两个假设下数据的边际似然之比</strong>（也称'证据比'）：BF₁₀=p(D|H₁)/p(D|H₀)，其中每个边际似然是对该假设下先验积分 ∫p(D|θ)p(θ)dθ。<strong>与 p 值的四个关键差异</strong>：① <strong>双向性</strong>——BF 既能支持 H₁（BF>1）也能支持 H₀（BF<1），而 p 值只能'拒绝'或'不拒绝'，无法量化对 H₀ 的支持；② <strong>不依赖停止规则</strong>——贝叶斯推断基于后验（似然 × 先验），无论你何时停止观察，后验更新都是合法的，故 <strong>BF 天然免疫 peeking 问题</strong>（这是贝叶斯方法在 A/B 测试中的主要吸引力）；③ <strong>不受'样本量无上限'困扰</strong>——p 值随 n 增大必然变小（即使效应微小），而 BF 会收敛到'真实假设'的支持（若 H₀ 真，BF→0）；④ <strong>可直接转为后验概率</strong>——P(H₁|D)=BF·P(H₁)/(BF·P(H₁)+P(H₀))，给出'假设为真的概率'这一直觉性结论。<strong>解读标度</strong>（Jeffreys）：BF>10 强证据、>30 很强、>100 极强；BF<1/10 则支持 H₀。

实践要点与局限：① <strong>对先验敏感</strong>——BF 依赖 H₁ 下参数的先验分布（如效应量的先验宽度）；先验过于弥散会使 BF 偏向 H₀（'Bartlett 悖论'），过于集中则偏向 H₁；故应做<strong>先验敏感性分析</strong>并优先用<strong>默认/客观先验</strong>（如 Jeffreys-Zellner-Siow 先验、Cauchy 先验）。② <strong>计算困难</strong>——边际似然需对参数积分（通常无解析解），需 MCMC、bridge sampling、或 Savage-Dickey 密度比（对嵌套模型）等方法。③ <strong>A/B 测试中的应用</strong>——贝叶斯 A/B 直接报告 P(新方案更好) 与<strong>预期损失</strong>，且允许随时查看（无 peeking 惩罚），这是许多工业界 A/B 平台采用贝叶斯方法的原因；但需注意'随时查看并决策'仍会累积决策错误（决策理论层面），只是不再是经典的 α 膨胀。④ <strong>与常规检验的关系</strong>——两者回答不同问题：p 值回答'数据在原假设下有多罕见'，BF 回答'哪个假设更能解释数据'；报告两者能提供更完整的信息。⑤ <strong>实践建议</strong>——若需'证明无差异'或'随时查看'，贝叶斯方法更合适；若需与既有文献/监管框架对接，频率派方法仍是主流。