Hypothesis Testing: 解释卡方检验的三种主要用途。

Core Concept: ① 拟合优度（分布是否匹配）② 独立性（两分类变量是否相关）③ 方差/比例的比较。

三种用途：① <strong>拟合优度检验</strong>——检验观测频数 Oᵢ 是否与某理论分布（如均匀、泊松）的期望频数 Eᵢ 一致；自由度 = 类别数 −1（若分布参数也从数据估计，还需减去估计的参数个数）。② <strong>独立性检验（列联表）</strong>——检验两个分类变量是否独立：把观测频数与'独立假设下的期望频数' Eᵢⱼ=(行和×列和)/总数 比较，自由度 =(r−1)(c−1)。这是 A/B 测试中 <strong>SRM（样本比例失配）检测</strong>的标准方法。③ <strong>方差/比例的检验</strong>——对单个方差（相对理论值）或比例的比较（如'两组转化率是否相同'可用卡方或比例 z 检验，两者等价）。<strong>统计量构造</strong>：χ²=Σ(Oᵢ−Eᵢ)²/Eᵢ，在 H₀ 成立且期望频数足够大时渐近服从 χ² 分布。

实践要点：① <strong>期望频数要求</strong>——卡方检验是<strong>渐近</strong>检验，要求每个单元格的期望频数 ≥5（保守做法）；若有不满足的单元格，应改用 <strong>Fisher 精确检验</strong>（小样本列联表）或合并类别。② <strong>只能说明'是否相关'，不能说明'强度'</strong>——χ² 随样本量增大而增大，故显著不等于关联强；度量关联强度应用 <strong>Cramér's V</strong>（=√(χ²/(n·min(r−1,c−1)))）、<strong>优势比（OR）</strong> 或 <strong>phi 系数</strong>。③ <strong>不能给出方向</strong>——独立性检验是双侧的，若需方向（如'处理组比例更高'）应用比例检验（单侧 z 检验）或看残差符号（标准化残差 (O−E)/√E）。④ <strong>连续数据需先分箱</strong>——卡方用于分类数据；对连续数据需先分箱（会损失信息），或改用 KS 检验（分布比较）、t 检验（均值比较）。⑤ <strong>A/B 测试中的 SRM 检测</strong>——用卡方检验分流比例是否偏离预期，阈值通常取 p<0.001（比常规更严，因为 SRM 会持续影响所有实验）；发现 SRM 应废弃实验而非'校正'数据。⑥ <strong>与 G 检验的关系</strong>——G 检验（似然比卡方）在理论上更优（可分解），小样本下表现更好。