Hypothesis Testing: 解释 t 检验与 z 检验的选择依据。

Core Concept: z 检验用已知总体方差（或大样本近似）；t 检验用样本方差（小样本、方差未知）。

选择的判据是'<strong>方差是否已知</strong>'而非单纯的样本量：① <strong>z 检验</strong>——总体标准差 σ 已知（罕见），或样本量很大（n>30–50）时用 CLT 近似；② <strong>t 检验</strong>——σ 未知且用样本标准差 s 替代时，必须用 t 分布。<strong>为什么必须用 t</strong>：用 s 替代 σ 引入了<strong>额外的不确定性</strong>（s 本身是随机变量），若仍用正态分布会<strong>低估尾部概率</strong>（导致假阳性膨胀）；t 分布正是为补偿这一不确定性而设计的——它的尾部比正态更厚，自由度 ν=n−1 越小尾部越厚，n→∞ 时收敛到正态。<strong>配对 vs 非配对</strong>：配对 t 检验用于同一批对象的两次测量（或用相同配对条件），检验<strong>差值</strong>的均值是否为零，能消除个体差异、大幅降低方差；非配对（独立样本）t 检验用于两组独立样本，需假设方差齐性（否则用 Welch 校正）。

实践要点：① <strong>Welch t 检验</strong>——不假设两组方差相等（默认推荐），自由度用 Welch-Satterthwaite 近似；经典的学生 t 检验假设方差齐性，实践中该假设常不成立（尤其两组样本量差异大时），故 Welch 更稳健。② <strong>样本量的经验阈值</strong>——'n>30 用 z' 是常见经验，但若数据重偏或重尾，30 远不够；更稳妥的做法是<strong>统一用 t 检验</strong>（大样本下 t 与 z 几乎相同，无损失）。③ <strong>配对设计的前提</strong>——配对要求两组观测<strong>一一对应</strong>（同一对象的前后测、同一批次的处理/对照）；错用配对会低估方差导致假阳性。④ <strong>A/B 测试中的应用</strong>——两组用户独立，用非配对（Welch）t 检验；但若指标重尾，t 检验的 CLT 近似在中等样本下不可靠，应改用 <strong>bootstrap</strong> 或 <strong>Mann-Whitney U（秩和）检验</strong>。⑤ <strong>多重比较</strong>——同时做多个 t 检验需 Bonferroni/BH 校正。⑥ <strong>与 ANOVA 的关系</strong>——比较 3 组以上时不应做多次 t 检验（膨胀假阳性），应用 ANOVA + 事后检验。