Confidence Intervals & Bootstrap: 什么是 bootstrap 的三种区间构造方法？

Core Concept: 百分位法、基本法（reverse percentile）、BCa（偏差校正加速）。

三种方法的构造与适用：① <strong>百分位法（Percentile）</strong>——直接取 bootstrap 分布的 α/2 与 1−α/2 分位数。最简单、无需估计标准误，但隐含假设 θ̂ 的分布无偏且对称；当 θ̂ 有偏（如方差、比率的估计）或分布偏斜时覆盖率不足。② <strong>基本法（Basic / Reverse Percentile）</strong>——CI=[2θ̂−θ̂*_{1−α/2}, 2θ̂−θ̂*_{α/2}]，由 θ̂*−θ̂ 的分布镜像得到 θ̂−θ 的分布。它不要求对称，但要求 θ̂* 围绕 θ̂ 无偏，且可能在参数有界（如方差非负）时给出越界区间。③ <strong>BCa（Bias-Corrected and accelerated）</strong>——在百分位法的基础上引入两个修正量：偏差校正 z₀（衡量 θ̂* 的中位数偏离 θ̂ 的程度）与加速度 a（用 jackknife 估计 θ̂ 的标准误随 θ 变化的速率，捕捉偏态）。修正后的分位数为 α₁=Φ(z₀+(z₀+z_α)/(1−a(z₀+z_α)))。

选择建议：① <strong>BCa 是最稳健的默认选择</strong>——它在偏差与偏态存在时仍能保持接近名义的覆盖率，Efron & Tibshirani 的经典教材推荐它作为首选；代价是计算量更大（需 jackknife 估计加速度）。② <strong>百分位法适用于近似对称、无偏的统计量</strong>（如均值、中位数在大样本下），此时三者结果接近。③ <strong>基本法较少使用</strong>——它对偏差敏感且可能越界。④ <strong>参数 bootstrap</strong>（从拟合的参数分布中抽样，而非从数据重采样）在已知分布族时更有效（如泊松计数、时间序列的 AR 模型），但对模型误设敏感。⑤ 实用判据：若三种方法给出的 CI 差异显著，说明 bootstrap 分布偏斜严重，应报告这一事实并优先采信 BCa。