Confidence Intervals & Bootstrap: 解释 bootstrap 的原理，并写出求均值置信区间的步骤。

Core Concept: 用有放回重采样模拟抽样分布；取重采样统计量的分位数得到 CI。

bootstrap 的核心思想是<strong>用经验分布 F̂ 替代真实分布 F</strong>：既然观测样本是总体的一个代表，那么'从 F̂ 中有放回重采样 n 个点'就模拟了'从 F 中再抽样一次'的过程。具体步骤：① 从原始样本 x₁,…,xₙ 中有放回抽取 n 个点，得到重采样样本 x*；② 计算统计量 θ̂*=stat(x*)；③ 重复 B 次（B=1000–10000）得到 θ̂*₁,…,θ̂*_B 的经验分布；④ 取该分布的 α/2 与 1−α/2 分位数即为百分位法 CI。其理论依据是 <strong>bootstrap 一致性</strong>：在温和条件下，√n(θ̂*−θ̂) 的分布与 √n(θ̂−θ) 的分布渐近相同。

适用与失效：① <strong>适用范围极广</strong>——均值、中位数、分位数、相关系数、回归系数、AUC、乃至自定义的复杂统计量，只要有计算方式就能 bootstrap，无需推导解析方差（这是它相对 delta method 的最大优势）。② <strong>失效情形</strong>——(a) <strong>极值统计量</strong>（最大值、最小值）：bootstrap 样本的最大值最多等于原样本最大值，无法反映超出观测范围的尾部，故严重低估不确定性；(b) <strong>重尾分布</strong>：重采样难以复现极端值的影响，方差估计不稳；(c) <strong>依赖结构</strong>：时间序列/聚类数据需用 block bootstrap 或 cluster bootstrap 保持依赖结构，否则会低估方差；(d) <strong>参数在边界</strong>（如方差为 0）时分布非正态，需用 BCa 等修正方法。③ <strong>实践建议</strong>——B 取 1000 以上（分位数估计需要足够样本），固定随机种子保证可复现，A/B 测试中应直接对<strong>差值</strong>做 bootstrap 而非分别构造 CI 后比较。