Hypothesis Testing: 样本量与功效的关系是什么？写出常用的样本量估算思路。

Core Concept: 样本量与效应量平方成反比；功效分析反解所需 n。

推导（两样本均值比较）：检验统计量 Z=(X̄_A−X̄_B)/√(2σ²/n)，在 H₀ 下 ~N(0,1)，在 H₁（真实差异 Δ）下 ~N(Δ/√(2σ²/n), 1)。拒绝域为 |Z|>z_{1−α/2}，要求 H₁ 下落入拒绝域的概率 ≥ 1−β，即 (Δ/√(2σ²/n)) − z_{1−α/2} ≥ z_{1−β}，解出 n ≥ 2σ²(z_{1−α/2}+z_{1−β})²/Δ²。<strong>核心结论</strong>：n 与效应量 Δ 的<strong>平方</strong>成反比——效应减半，样本量需增至 4 倍；n 与方差 σ² 成正比（方差翻倍，样本量翻倍）。这两个关系决定了实验设计的基本约束：小效应实验极其昂贵。

实践要点：① <strong>MDE 必须先定</strong>——MDE（最小可检测效应）应由业务价值决定（如'至少提升 0.5% 转化率才值得上线'），而非由样本量倒推；反过来做（先定样本量再问能检出什么）会导致'实验能检出什么就上什么'的荒谬决策。② <strong>降方差等于免费加样本</strong>——由 n∝σ²，方差降低 50% 等价于样本量翻倍；CUPED 用实验前协变量常能降低 30–50% 方差，是工业界最高杠杆的优化。③ <strong>分流比例的影响</strong>——若处理组只占 p 比例，有效样本量下降，最优通常是 50/50（方差在等分时最小），但当处理有风险或成本高时可用不均衡分流。④ <strong>指标类型不同公式不同</strong>——比率型指标（CTR）用 p(1−p) 代替 σ²，计数型需考虑过度离散，重尾指标应改用 bootstrap 或稳健估计。