Common Distributions: 解释 Beta 分布的形状参数含义，以及它在 A/B 测试中的应用。

Core Concept: Beta(a,b) 定义在 [0,1]，a、b 可理解为'成功/失败伪计数'；是 Bernoulli 的共轭先验。

Beta(a,b) 的密度正比于 x^{a−1}(1−x)^{b−1}，形状由 a、b 相对大小决定：a=b 时对称（a=b=1 即均匀分布）；a>1,b>1 时单峰；a<1 或 b<1 时在端点发散（U 型）。把它看成'伪计数'后，共轭更新极其简洁：若先验 Beta(a,b)，观测到 s 次成功、f 次失败，则后验为 Beta(a+s,b+f)——后验均值 (a+s)/(a+b+s+f) 恰是带平滑的样本比例，平滑强度由 a+b 控制。这正是 CTR 平滑的贝叶斯解释：Beta(1,1) 先验给出拉普拉斯平滑，Beta(α,β) 给出更强的先验收缩。

工业应用有三条主线：① <strong>Thompson Sampling</strong>：多臂老虎机中直接从各臂的后验 Beta 采样并选最大值，天然平衡探索与利用，且比 UCB 更易扩展到复杂奖励；② <strong>贝叶斯 A/B 测试</strong>：直接报告 P(p_A>p_B) 与预期损失，避免频率派 p 值的'无差异'困境，且允许中途查看（无 peeking 问题，因为后验随数据更新是合法的）；③ <strong>冷启动平滑</strong>：新商品/新用户点击率用 Beta 先验收缩到全局均值，防止 1/1=100% 的极端估计。局限在于共轭只对指数族成立，复杂模型需 MCMC/变分近似。Dirichlet 是 Beta 的多类别推广，用于多项分布的共轭先验。