Common Distributions: 什么是重尾分布？它对均值估计和 A/B 测试有什么影响？

Core Concept: 尾概率衰减慢于指数（如 Pareto/对数正态）；极端值主导均值，样本均值收敛慢且不稳定。

重尾的严格定义是尾概率衰减慢于任何指数：P(X>x)~x^{−α}L(x)（L 为缓变函数）。Pareto(α) 是最典型代表，当 α≤2 时方差无穷，α≤1 时均值无穷。关键后果是<strong>样本均值的收敛速度由尾部指数决定</strong>：对 α<2 的分布，CLT 失效或收敛极慢，且极值主导均值——这解释了'平均收入'被少数超级富豪拉高、'平均响应时间'被少数慢请求主导的现象。理论工具是<strong>极值理论（EVT）</strong>：Fisher-Tippett 定理指出极值（最大值）的极限分布只有三种类型（Gumbel/Fréchet/Weibull），与原始分布无关。

对 A/B 测试的具体影响：① <strong>方差被极端值主导</strong>，少量异常样本即可翻转结论，导致实验需要极长周期或极大样本；② <strong>CLT 不适用</strong>，z/t 检验的置信区间不可信，应改用 bootstrap（但注意 bootstrap 对极值统计量同样失效，因为重采样难以复现尾部）、或对指标做<strong>截断/缩尾（winsorize）</strong>；③ <strong>用对数变换</strong>（若为正）或直接改用<strong>分位数/中位数</strong>作为指标。工程上更有效的手段是 <strong>CUPED</strong>（用实验前协变量吸收个体差异）与<strong>稳健方差估计</strong>，而不是简单延长实验。判断重尾的方法：QQ 图对比正态、Hill 估计量估计尾部指数、或检查样本方差是否随样本量持续增长（若增长则方差可能无穷）。