Common Distributions: 高斯分布为什么无处不在？中心极限定理的准确表述是什么。

Core Concept: i.i.d. 有限方差下，标准化样本均值依分布收敛到 N(0,1)；误差是多因素叠加的自然结果。

CLT 的准确表述：设 X₁,…,Xₙ 独立同分布，E[X]=μ、Var[X]=σ²<∞，则 √n(X̄−μ)/σ 依分布收敛于 N(0,1)。三个前提必须同时满足——<strong>独立</strong>、<strong>同分布</strong>（或至少 Lindeberg 条件）、<strong>有限方差</strong>。证明思路用特征函数：φ_{√n(X̄−μ)/σ}(t)=[φ((t)/(σ√n))]ⁿ，对 log φ 做二阶泰勒展开，高阶项在 n→∞ 时消失，留下 −t²/2，正是标准正态的特征函数对数。高斯'无处不在'的另一个解释是<strong>最大熵</strong>：在给定均值与方差的所有分布中，正态的熵最大——即它是信息量最少（假设最弱）的选择。

工程含义有三层：① <strong>A/B 测试的合法性</strong>来自 CLT——即使指标（如转化率）本身是 Bernoulli，样本均值在大 n 下近似正态，故可用 z/t 检验；② <strong>重尾下 CLT 收敛极慢</strong>：若分布是 Pareto(α=1.5)，收敛速度远慢于指数，小样本下置信区间严重低估不确定性，此时应用 bootstrap 或稳健统计；③ <strong>CLT 只管均值，不管极值</strong>——最大值/分位数的分布由极值理论（GEV 分布）刻画，与正态无关。此外，误差的正态性是'多因素独立叠加'的结果（Lindeberg-Feller 条件），当存在单一主导因素时该假设失效。