Common Distributions: 二项分布与泊松分布的关系是什么？

Core Concept: n 大 p 小时 Binomial(n,p) → Poisson(np)；泊松是稀有事件的极限。

泊松极限定理：当 n→∞、p→0 且 np→λ 固定时，二项分布依分布收敛到 Poisson(λ)。证明可用概率生成函数或直接展开：P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}，代入 p=λ/n 后取极限，组合数与 (1−λ/n)^n→e^{−λ} 给出 e^{−λ}λ^k/k!。直觉上，泊松刻画的是'在大量机会中极少数成功的计数'——例如一天内某网页的访问数、某接口的错误请求数。泊松的关键性质是<strong>均值等于方差</strong>（E[X]=Var[X]=λ），且多个独立泊松之和仍为泊松（λ 相加），后者使其在分层聚合时极为方便。

这个'均值=方差'的性质是<strong>实践中的诊断工具</strong>：若观测数据的样本方差显著大于样本均值（过度离散，over-dispersion），说明泊松假设被违反，常见原因是事件不独立（聚集）或发生率随时间变化。此时应改用 Negative Binomial（方差=λ+λ²/r，多一个离散参数），或用 Quasi-Poisson（仅放宽方差为 φλ）。工程场景：A/B 测试中按用户聚合的点击计数常过度离散，直接用泊松标准误会低估方差、抬高假阳性——这也是为什么实践中用 bootstrap 或稳健标准误。