Probability Foundations: 写出马尔可夫不等式与切比雪夫不等式，并说明它们的用途与松紧程度。

Core Concept: 马尔可夫用一阶矩界尾概率，切比雪夫用二阶矩；都很松，但无需分布假设。

<strong>马尔可夫不等式</strong> P(X≥a)≤E[X]/a 仅要求 X 非负，证明只用到一个恒等式：E[X]=∫₀^∞P(X>t)dt ≥ ∫₀^a P(X>t)dt ≥ a·P(X>a)。<strong>切比雪夫不等式</strong> P(|X−μ|≥kσ)≤1/k² 是马尔可夫作用于 (X−μ)² 的直接推论：P((X−μ)²≥k²σ²)≤E[(X−μ)²]/(k²σ²)=1/k²。把 X 换成样本均值 X̄（方差 σ²/n），即得弱大数定律：P(|X̄−μ|≥ε)≤σ²/(nε²)→0。

这两个不等式的价值在于<strong>无分布假设</strong>，因此在理论上不可替代（大数定律、PAC 学习理论、泛化界都依赖它们）。但代价是极松：切比雪夫给出的 95% 覆盖需要 k≈4.47 倍标准差，而正态分布只需 1.96——宽松一倍以上。工程实践中，做置信区间应优先用 CLT（大样本）、t 分布（小样本正态）、或 bootstrap（无分布但可计算），仅在理论上证明收敛性时才引用切比雪夫。若已知随机变量有界，Hoeffding 不等式给出指数级收敛（P(|X̄−E[X]|≥ε)≤2exp(−2nε²/(b−a)²)），远紧于切比雪夫，是 bandit 与在线学习理论的标准工具。