Probability Foundations: 解释期望的线性性与方差的可加性，并说明各自需要什么条件。

Core Concept: 期望线性无条件成立；方差可加需要不相关（独立是充分条件）。

<strong>期望的线性性</strong> E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y] 对任意随机变量成立（不要求独立、不要求同分布），因为期望是积分算子，积分天然线性。这是统计推断最重要的工具——它保证了'样本均值是总体均值的无偏估计'这一结论无需任何分布假设。<strong>方差的可加性</strong>则不然：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)，只有当 Cov=0（不相关）时才能简化为相加；独立是 Cov=0 的充分条件但非必要（存在不相关但依赖的例子，如 X~U(-1,1) 与 Y=X²）。

这两个性质直接支撑 A/B 测试的理论基础：① 由期望线性，处理组与对照组的样本均值差是 ATE 的无偏估计；② 由方差可加，两组独立时差值方差 = 两组方差之和，故标准误可解析计算。更重要的是方差可加的反面——<strong>若引入与指标相关的协变量，可以通过扣除其解释的方差来降低估计方差</strong>：这就是 CUPED（Y^cv=Y−θ(X−X̄)，θ=Cov(Y,X)/Var(X)），方差降低比例恰为相关系数平方 ρ²。工业界实践中，用实验前的同指标作为协变量常能降低 30–50% 方差，等效于免费获得数倍样本量。