扩散模型 SDE 连续随机微分推导

扩散模型连续随机微分方程 (Score-Based SDE / 宋飏提出) 与反向时间生成推导 (Score-based Continuous SDE & Reverse-Time Diffusion Calculus) 将离散的 DDPM / SGM 统一升华至连续时间随机微分方程体系；正向加噪扩散过程被建模为一个伊藤随机微分方程 (Itô SDE)：$\mathrm{d}x = f(x, t)\mathrm{d}t + g(t)\mathrm{d}w$（其中 $f(x, t)$ 为漂移系数，$g(t)$ 为扩散系数，$w$ 为标准布朗运动）；由安德森时间反转定理 (Anderson's Time-Reversal Theorem) 严格证明，对应的反向时间扩散过程也是一个封闭的 SDE：$\mathrm{d}x = \left[ f(x, t) - g(t)^2 \nabla_x \ln p_t(x) \right] \mathrm{d}t + g(t) \mathrm{d}\bar{w}$；生成模型的本质等价于用深度神经网络 $s_\theta(x, t)$ 拟合边缘分布的得分函数 (Score Matching / Score Function: $\nabla_x \ln p_t(x)$)；更进一步，存在唯一的确定性概率流常微分方程 (Probability Flow ODE)，使扩散模型能够利用高阶 ODE 求解器实现 10~20 步极速采样。

生成模型前沿理论研究、极速少步扩散采样器设计 (DPM-Solver)、Flow Matching 连续正则流推导。

早期 DDPM 离散百步马尔可夫采样缓慢且理论碎片化；Score SDE 提供了优雅统一的连续时间测度论数学基础与确定性采样闭式解。

从伊藤引理 (Itô's Lemma) 与福克-普朗克方程 (Fokker-Planck Equation) 推导反向时间 SDE 中得分函数 $\nabla_x \ln p_t(x)$ 的出现机理？

详细写出概率流常微分方程 (Probability Flow ODE: $\mathrm{d}x = [f(x, t) - \frac{1}{2} g(t)^2 \nabla_x \ln p_t(x)] \mathrm{d}t$) 的形式，并解释为什么它与 SDE 共享相同的边缘概率轨迹？

去噪得分匹配 (Denoising Score Matching, DSM: $\mathbb{E}[\|s_\theta(x_t, t) - \nabla_{x_t} \ln p(x_t | x_0)\|^2]$) 为什么能将不可计算的真实全量分布对数梯度转化为已知的条件高斯对数梯度？

无分类器引导 (Classifier-Free Guidance, CFG): $\tilde{s}_\theta(x_t, c) = s_\theta(x_t, \emptyset) + s \cdot (s_\theta(x_t, c) - s_\theta(x_t, \emptyset))$ 的得分组合推导与温度缩放机理？

DPM-Solver 算法如何利用概率流 ODE 的半线性结构 (Semi-linear Structure) 与指数积分器将生成步数压缩至 10 步以内？