概率公理与贝叶斯定理

概率公理是度量不确定性的三条公理 — 非负性 $P(A) \ge 0$、归一性 $P(\Omega) = 1$、可数可加性 $P(\bigcup_{i} A_i) = \sum_i P(A_i)$(互斥事件 $A_i$)。由此定义条件概率 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$,全概率公式 $P(B) = \sum_i P(B|A_i)P(A_i)$,并推出贝叶斯定理 $P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)P(A_j)}$, 即 后验 $\propto$ 似然 $\times$ 先验。

一切概率计算的起点 — “检测阳性求患病概率”“垃圾邮件分类”以及先验-似然-后验三件套是面试标准题;也是贝叶斯推断、生成模型 $p(x,z)$ 分解的公共地基。

直觉往往忽略基准率 — 患病率 1%、检测灵敏度与特异度均 99% 时,阳性者真正患病的后验只有约 50% 而非 99%;贝叶斯公式强制纳入先验与证据归一化,避免基准率谬误 (base rate fallacy) 带来的系统性高估。

写出概率的三条公理,并证明 $P(A^c) = 1 - P(A)$ 与 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$?

推导贝叶斯公式与全概率公式?什么叫基准率谬误?

患病率 1%、检测灵敏度与特异度均 99%,检测阳性时后验概率是多少?

先验、似然、证据、后验分别对应公式中的哪一项?它们如何共同决定推断结果?

条件独立与独立的关系?为什么 $P(A|B) = P(A)$ 时称 $A,B$ 独立?