马尔可夫链与细致平衡

细致平衡 (Detailed Balance) 是马尔可夫链存在平稳分布的核心充分条件:若转移核 $P(i \to j)$ 与分布 $\pi$ 满足逐对可逆

则 $\pi$ 必为链的平稳分布。证明:对任意状态 $j$,

第一步对求和中的每一项代入细致平衡,最后一步用转移核行和 $\sum_i P(j \to i) = 1$ — 得到“从 $\pi$ 出发转移一步后仍是 $\pi$”,即向量形式 $\pi^T P = \pi^T$,正是平稳分布定义。

马尔可夫链蒙特卡洛(尤其 Metropolis-Hastings)的数学根基 — 构造转移核时只需逐点验证细致平衡,平稳性自动成立;面试常考“细致平衡如何推出平稳分布”。

把求平稳分布从解线性方程组 $\pi^T P = \pi^T$(特征值问题)转化为逐对验证可逆条件,构造难度大大降低;注意细致平衡是充分而非必要条件 — 存在满足平衡方程但不满足细致平衡的不可逆链,只是 MCMC 几乎全部采用可逆设计(更简单且通常收敛更快)。

从细致平衡 $\pi(i) P(i \to j) = \pi(j) P(j \to i)$ 证明 $\sum_i \pi(i) P(i \to j) = \pi(j)$,即 $\pi$ 是平稳分布,写出每步依据?

细致平衡与平稳分布的关系:充分还是必要?能否举例说明存在平稳但不可逆的链?

平稳分布向量形式 $\pi^T P = \pi^T$ 如何从细致平衡推出?

为什么构造 MCMC 时用细致平衡而不是直接解线性方程组 $\pi^T P = \pi^T$?

链收敛到平稳分布还需要哪些正则条件(不可约、非周期、正常返)?