置信区间

置信区间 (Confidence Interval) 是由样本构造的随机区间, 经典正态均值形式为

$CI = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$,

其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分位数、$\sigma/\sqrt{n}$ 是标准误, 宽度由精度与置信水平共同决定。频率学派解释 (coverage): 重复抽样 $100(1-\alpha)\%$ 的区间会覆盖真值, 单次区间的“真值落入概率”概念不成立——参数是固定的, 随机的是区间。

估计结果的不确定性量化、AB 实验与模型评估汇报误差棒;面试常考覆盖率 (coverage) 的严格解释、未知 $\sigma$ 时换用 $t$ 分布、与双侧检验的对偶关系。

点估计只给一个数, 不含任何精度信息; CI 同时给出估计值与其不确定性:置信水平从 95% 提到 99% ($z_{\alpha/2}$ 从 1.96 变 2.576) 或样本量减半, 区间都会显著变宽;与双侧检验对偶: 95% CI 不包含 $\mu_0$ 等价于在 $\alpha = 0.05$ 下拒绝 $H_0: \mu = \mu_0$;当解析解不存在时 (如复杂统计量), Bootstrap 重采样可给出近似 CI。

正态总体均值、方差已知时 95% CI 公式 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}$ 各部分的含义?

覆盖率 (coverage) 的严格解释: 为什么不能说“真值有 95% 概率在区间内”?

置信水平从 95% 提到 99%, 或样本量翻倍, 区间宽度分别如何变化?

未知 $\sigma$ 时为什么用 $t$ 分布?与正态近似的区别?

置信区间与双侧假设检验的对偶关系是什么?