中心极限定理 CLT

中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 指出: 对独立同分布、方差有限的样本 $X_1,\dots,X_n$ (期望 $\mu$, 方差 $\sigma^2 < \infty$), 样本均值 $\bar{X}$ 的标准化形式依分布收敛到标准正态:

$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$, 且收敛速度为 $O(1/\sqrt{n})$; 它不要求样本本身服从正态。

当 $\bar{X}$ 的精确分布不可求时用正态近似算概率与分位数, 是 Z 检验、置信区间公式和 Bootstrap 的理论基石;面试常从“为什么是 $\sqrt{n}$”切入, 追问收敛速度、所需样本量与失效条件。

大数定律只给出 $\bar{X} \to \mu$ 的收敛, 切比雪夫不等式只给 $O(1/n)$ 的粗概率界;CLT 提供分布级的精确刻画: 求和中正负波动相互抵消, 标准差按 $1/\sqrt{n}$ 衰减——误差减半需要 4 倍样本量, $n$ 从 100 到 10000 误差只缩小 10 倍。

中心极限定理的内容是什么?成立需要哪些条件(i.i.d.、方差有限)?

为什么标准化均值的收敛速度是 $1/\sqrt{n}$?用波动抵消直觉解释。

样本均值 $\bar{X}$ 的标准误是多少?要让误差减半需要多少倍样本?

CLT 与切比雪夫不等式、大数定律的区别与联系是什么?

方差不存在时(如 Cauchy 分布)CLT 为何失效?样本均值收敛到哪里?