贝叶斯营销组合模型 MMM 与饱和曲线

现代贝叶斯市场营销组合模型 (Bayesian Marketing Mix Modeling, MMM / Meta LightweightMMM, Google Meridian, Robyn 核心架构体系) 是在隐私监管加强、三方 Cookie 废弃与跨设备追踪失效的后隐私时代，进行宏观跨渠道广告预算归因与 ROI 最优配比的核心计量科学工具；传统 OLS 回归由于忽略了广告的物理滞后与边际递减效应而严重失效；现代贝叶斯 MMM 两大核心非线性物理变换：1) 广告滞后结转效应 (Adstock Effect / Geometric or Weibull Decay): 广告曝光对用户心智的影响并非当天结束，而是随时间指数衰减并持续积累结转至后续数周：$x_t^* = x_t + \theta x_{t-1}^*$；2) 边际收益递减饱和曲线 (Hill Function Saturation / Diminishing Marginal Returns): 广告投入越大单位边际产出越低，采用希尔函数建模饱和 S 曲线：$\text{Saturation}(x) = \frac{x^S}{K^S + x^S}$；利用马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC / No-U-Turn Sampler, NUTS) 在先验知识下求解全局参数后验分布。

集团级年度/季度亿级跨媒体广告预算战略分配、电视/户外/信息流广告全域综合 ROI 测算、隐私合规归因。

无需任何用户隐私数据即可在宏观聚合数据上精确剥离每个媒体渠道的纯增量贡献与最优饱和投资阈值。

写出几何衰减 Adstock 公式与 Weibull Adstock 公式的数学形式，并解释它们如何刻画广告记忆的持久性与延迟峰值？

详细推导 Hill 饱和函数 $\text{Hill}(x; K, S) = \frac{x^S}{K^S + x^S}$ 的数学导数，并解释半饱和常数 $K$ 与形状参数 $S$ 如何决定渠道投资回报递减临界点？

贝叶斯先验校准 (Bayesian Prior Calibration with Geo-Lift Experiments): 如何将区域提升实验 (Geo-Lift Test) 得出的真实因果 ROI 作为先验注入 MMM 模型以消除多重共线性？

基础自然销量 (Baseline / Intercept Decomposition): 如何在 MMM 模型中剥离宏观经济趋势、节假日促销与价格变动，以分离出不依赖广告的自然有机销量？

预算优化器 (Budget Optimizer): 如何在拟合好的 MMM 响应曲面上使用凸优化/非线性规划 (SLSQP) 计算各渠道在总预算 $B$ 下的最优分配点？