Clustering Algorithms: 描述 K-means 算法，说明它的目标函数与收敛性。

Core Concept: 交替'分配最近中心'与'更新中心为均值'，单调下降目标直至收敛到局部最优。

算法两步交替：① <strong>分配步</strong>——把每个点分给最近的簇中心（固定中心，最小化目标）；② <strong>更新步</strong>——把每个中心移到其簇内点的均值（固定分配，最小化目标，因为均值是使平方和最小的点）。<strong>收敛性</strong>：每一步都不增加目标函数 J=ΣⱼΣ_{x∈Sⱼ}‖x−μⱼ‖²（分配步使每点选最近中心；更新步使中心最优），且 J 有下界 0，故必收敛。但收敛到的是<strong>局部最优</strong>——因为 J 对分配是离散的、非凸的，最终解依赖初始中心。<strong>为什么均值是最优中心</strong>：∂/∂μⱼΣ‖x−μⱼ‖²=0 ⇒ μⱼ=簇内均值。<strong>K-means 的隐含假设</strong>：各簇球形、大小相近、方差相似（因为它用欧氏距离且隐含等权），故对非球形（如环形）、大小悬殊、密度差异大的簇表现差。

实践要点：① <strong>K-means++ 初始化</strong>——第一个中心随机选，后续每个中心按'与已有中心距离的平方'成正比的概率选择（远离已有中心的点更可能被选）。这使初始中心分散，理论上给出 O(log K) 的近似保证，实践显著优于随机初始化。② <strong>多次重启</strong>——即使有 K-means++，仍应跑多次（n_init=10）取最优（目标最小）的解。③ <strong>K 的选择</strong>——肘部法（J 随 K 的曲线拐点，主观）、轮廓系数（-1 到 1，越大越好）、Gap 统计量（与均匀分布的对比）；实践中常结合业务可解释性。④ <strong>替代算法</strong>——K-medoids（用真实点作中心，对异常值鲁棒）、GMM（软分配、椭圆簇）、DBSCAN（任意形状、自动定簇数）、谱聚类（图划分，适合非凸簇）。⑤ <strong>标准化</strong>——K-means 用欧氏距离，必须标准化特征。⑥ <strong>MiniBatch K-means</strong>——用 mini-batch 加速，适合大数据。