Common Distributions: 解释对数正态分布与它的适用场景。

Core Concept: log(X) 服从正态；X 恒正且右偏，适合建模收入、价格、时长等非负右偏数据。

定义与来源：若 log X~N(μ,σ²) 则 X 服从对数正态。它的自然来源是<strong>乘性过程的中心极限定理</strong>——若 X=ΠXᵢ（多个正随机变量的乘积），则 log X=Σlog Xᵢ 由 CLT 趋于正态，故 X 趋于对数正态。这解释了为什么<strong>收入、财富、房价、股价、生物尺寸、网络流量、任务时长</strong>等'增长型'变量常呈对数正态（这些量的形成涉及乘性累积而非加性叠加）。<strong>关键性质</strong>：① 取值恒正（适合非负量）；② 右偏（长右尾）；③ 均值 e^{μ+σ²/2} <strong>大于</strong>中位数 e^μ（右偏的必然结果，差距随 σ 增大而扩大）；④ 乘法封闭（两个对数正态之积仍是对数正态）。

工程含义：① <strong>对数变换是处理右偏的标准手段</strong>——对 y 取 log 后可用线性回归（残差更接近正态、异方差缓解），但<strong>系数解释改变</strong>：log(y)=βx 意味着 x 增 1 单位时 y 变化约 100β%（半弹性）；若 x 也取对数则是弹性。② <strong>均值 vs 中位数</strong>——对收入类数据，中位数比均值更能代表'典型'水平（因为均值被长尾拉高）；报告时应说明用的是哪个。③ <strong>对数正态 vs 正态的选择</strong>——若数据右偏且恒正，先试 log 变换看是否近似正态（QQ 图）；若变换后仍偏，可试 Box-Cox 或 Gamma 分布。④ <strong>与重尾的区别</strong>——对数正态的尾部比指数慢但比 Pareto 快（介于两者之间）；金融中的极端损失常用 Pareto（幂律）而非对数正态。⑤ <strong>贝叶斯与对数正态先验</strong>——对正的尺度参数（如方差、比率）常用对数正态先验（等价于对数尺度的正态先验）。