实验设计 (A/B): 什么是 CUPED？它为什么能降方差。

Core Concept: 用实验前协变量（如历史同指标）做回归调整，扣掉可解释方差。

CUPED（Controlled-experiment Using Pre-Experiment Data）的构造：取实验前的协变量 X（通常是同一用户的历史同指标，如实验前 7 天的点击率），构造调整后的指标 Y^cv=Y−θ(X−X̄)，其中 θ=Cov(Y,X)/Var(X) 是最优系数。<strong>为什么降方差</strong>：Var(Y^cv)=Var(Y)−Cov(Y,X)²/Var(X)=Var(Y)(1−ρ²)，即方差降低比例为<strong>相关系数的平方</strong> ρ²。若历史指标与实验期指标相关系数为 0.7，则方差降低 49%——等效于样本量翻倍。<strong>为什么无偏</strong>：由于随机分流使 X 在两组间分布相同（E[X|T=1]=E[X|T=0]），减去 θ(X−X̄) 不改变两组期望之差，故 ATE 估计仍无偏。

实践要点：① <strong>协变量的选择</strong>——首选实验前同指标（相关性最高）；也可用多个协变量的回归调整（CUPED 的推广，等价于用实验前数据预测实验期指标再取残差）；② <strong>前提条件</strong>——协变量必须在随机化<strong>之前</strong>测量（否则可能被处理影响），且与处理独立；实践中还要注意协变量缺失（新用户无历史）时退化为原指标；③ <strong>与其他降方差方法的对比</strong>——分层随机化/后分层（Post-stratification）在离散协变量上有效，CUPED 在连续协变量上更灵活且常更强；两者可叠加；④ <strong>实现的坑</strong>——θ 必须用实验数据估计（可能引入微小偏差，可用样本分割消除）、协变量需做异常值处理（重尾协变量会削弱效果）、新用户群体需单独处理。