Linear Algebra: 解释矩阵的秩、零空间、列空间，以及秩与可解性的关系。

Core Concept: 秩 = 线性无关列数 = 列空间维数；Ax=b 有解当且仅当 b 在列空间中。

四个基本子空间构成线性代数的骨架：<strong>列空间</strong> C(A)={Ax}（A 的列的所有线性组合，维数=秩 r）、<strong>零空间</strong> N(A)={x:Ax=0}（维数=n−r，秩-零化度定理）、行空间 C(Aᵀ)（维数=r）与左零空间 N(Aᵀ)（维数=m−r）。关键正交关系：N(A)⊥C(Aᵀ)、N(Aᵀ)⊥C(A)，这给出了 Ax=b 的<strong>可解性判据</strong>——b 必须落在 C(A) 中，且此时解集为 x_particular+N(A)。秩的三种等价理解：线性无关列的最大数目、非零奇异值的个数、行阶梯形中主元的个数。

工程含义：① <strong>最小二乘的几何</strong>——当 b∉C(A)（超定），无解，转而求 b 在 C(A) 上的正交投影，得到正规方程 AᵀAx=Aᵀb，其解即最小二乘解（残差与列空间正交）；② <strong>秩亏时的处理</strong>——若 AᵀA 奇异（共线性），需用伪逆/pinv（SVD 截断小奇异值）或加 L2 正则（岭回归使 AᵀA+λI 可逆）；③ <strong>低秩假设的威力</strong>——真实数据矩阵常近似低秩（用户-物品评分矩阵、语言模型权重增量），这使矩阵补全（推荐系统）、LoRA（ΔW=BA，秩 r≪min(d,k)）、压缩感知成为可能。LoRA 的本质就是用秩-r 子空间逼近全参微调的更新。