Probability Foundations: 写出贝叶斯定理，并说明先验、似然、后验各自的角色。

Core Concept: 后验 ∝ 似然 × 先验；先验编码已有信念，似然由数据提供，后验是更新后的信念。

贝叶斯定理把'学习'形式化为信念更新：posterior ∝ likelihood × prior。三个量的角色清晰可分——<strong>先验 p(θ)</strong> 编码在看到数据前对参数的信念（正则化/领域知识的载体）；<strong>似然 p(D|θ)</strong> 由数据与生成模型假设决定，是唯一与数据相关的项；<strong>后验 p(θ|D)</strong> 是二者的乘积再归一化。分母 p(D)=∫p(D|θ)p(θ)dθ 与 θ 无关，因此常被省略为比例式。关键性质：数据量增加时，似然项的对数随 N 线性增长而先验固定，故先验影响被逐渐稀释，后验趋向 MLE——这是'数据够多时正则化不重要'的形式化表述。共轭先验（Beta-Bernoulli、Dirichlet-Multinomial、Normal-Normal）使后验与先验同族，可解析更新，是 A/B 测试中 Thompson Sampling 的基础。

两个易被追问的区分：① <strong>MAP 不是'贝叶斯最优'</strong>——MAP 只取后验众数一个点，丢弃了后验的不确定性；贝叶斯决策理论要求对后验做积分得到后验预测分布 p(y|x,D)=∫p(y|x,θ)p(θ|D)dθ，这在高维下不可解，故工程上退化为 MAP（等价于加正则的 MLE）。② <strong>先验的选择是主观的但可检验</strong>——弱信息先验（如 Jeffreys 先验）尽量减少主观影响；若后验对先验敏感，说明数据信息不足，应报告先验敏感性分析。