逆变换采样

逆变换采样 (Inverse Transform Sampling) 是生成服从任意一维分布 $F$ 的随机数最基础的方法:若 $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$,则 $X = F^{-1}(U)$ 服从分布 $F$。正确性证明:对任意 $x$,

第一步因 $F$ 单调不减故 $F^{-1}$ 保序($F^{-1}(U) \le x \iff U \le F(x)$);第二步因 $U$ 在 $(0,1)$ 上均匀,概率恰等于区间长度 $F(x)$;结果正是分布函数定义 $F_X(x) = P(X \le x)$,故 $X \sim F$。

采样指数、柯西、Weibull 等 CDF 可解析求逆的分布,也是分位数变换、copula 采样等高级方法的底层构件;面试常从“如何从均匀分布生成指数样本”切入。

一次均匀采样加一次求逆即可,严格精确、无拒绝浪费、$O(1)$ 开销;但硬前提是 CDF 必须可解析求逆 — 正态、伽马无闭式逆函数,只能改用 Box-Muller 或数值求逆(如 erf 反函数),且方法本身局限于一维,无法直接推广到高维。

证明逆变换采样正确性:推演 $P(F^{-1}(U) \le x) = P(U \le F(x)) = F(x)$ 并说明每步依据?

逆变换采样的适用条件是什么?正态分布为什么不能直接用它?

用逆变换采样生成指数分布 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$:求 $F^{-1}$ 的具体形式并写出算法?

逆变换采样与 Box-Muller 方法的区别?各自适用什么场景?

对离散分布(如伯努利/泊松),逆变换采样如何实现?复杂度是多少?