倾向得分 PSM 与双重稳健估计器

倾向得分匹配 (Propensity Score Matching, PSM / Rosenbaum & Rubin 提出)、逆概率加权 (IPW) 与双重稳健估计器 (Doubly Robust Estimator / AIPW) 是在大规模用户观测数据中平衡高维协变量分布、消除选择偏差 (Selection Bias) 的最经典因果推断工具箱；核心思想：倾向得分定义为在给定观测特征 $X$ 下个体接受处理的条件概率：$e(X) = P(T=1 | X)$（通常用 Logistic 回归或 GBDT 估计）；Rosenbaum-Rubin 定理证明：在强可忽略性假设下，条件化标量倾向得分 $e(X)$ 等价于条件化全量高维协变量 $X$，将高维维数灾难压缩为一维标量匹配；匹配方法包括近邻匹配 (Nearest Neighbor)、卡尺匹配 (Caliper) 与共同支撑域 (Common Support) 裁剪；双重稳健估计器 (AIPW: Augmented IPW) 结合了倾向得分模型与结果回归模型，只要两个模型中任意一个被正确设定，因果效应估计量就依然保持一致与无偏（具备双保险稳健性）。

无法做 A/B 实验的存量功能（如购买了 VIP 会员的用户）真实因果增益分析、用户流失召回活动归因。

买了会员的用户自然留存率本来就高（混杂特征选择偏差），直接对比会导致会员价值被严重夸大；PSM 与 AIPW 通过为每个会员匹配一个特征几乎一致的非会员，还原真实因果 Lift。

详细证明 Rosenbaum-Rubin 降维定理：为什么在 $Y(0), Y(1) \perp T \mid X$ 成立时，必有 $Y(0), Y(1) \perp T \mid e(X)$？

写出逆概率加权 (IPW: $\hat{\tau}_{\text{IPW}} = \frac{1}{n} \sum \left[ \frac{T_i Y_i}{e(X_i)} - \frac{(1-T_i)Y_i}{1-e(X_i)} \right]$) 公式，并分析为什么当 $e(X) \to 0$ 或 $1$ 时方差会发生剧烈爆炸？

写出双重稳健估计器 (Augmented IPW / AIPW) 的完整代数形式，并证明其“双重保险 (Double Robustness)”的数学无偏性机制？

共同支撑域 (Common Support / Overlap): 如何通过直方图检查倾向得分分布重叠，并剔除离群极端样本以防外推风险？

协变量平衡性检验 (Covariate Balance Check): 为什么匹配完成后必须计算标准化均值差 (SMD: Standardized Mean Difference $< 0.1$) 而不是看 $t$ 检验 $p$ 值？