向量距离度量与 L2 归一化

向量距离度量是衡量高维 Embedding 空间中两个向量几何相似性的数学函数，常用度量包括余弦相似度 (Cosine Similarity) $\cos(u, v) = \frac{u \cdot v}{\|u\| \|v\|}$、欧氏距离 (Euclidean / L2 Distance) $d(u, v) = \|u - v\|_2$ 以及点积 (Dot / Inner Product) $\langle u, v \rangle = u \cdot v$；当向量预先经过 L2 归一化 ($\|u\|_2 = 1$) 时，L2 距离与余弦相似度满足单调等价关系 $d^2(u, v) = 2 - 2\cos(u, v)$，点积亦与余弦相似度完全等价。

向量数据库 (Milvus, Qdrant) 建立索引配置度量类型、RAG 语义检索召回计算相似度、以及硬件加速矩阵乘法阶段统一输入尺度。

原始余弦相似度在检索时需每次实时计算向量模长 $\|u\|$ 与 $\|v\|$，开方与除法运算对 SIMD/GPU 硬件极其昂贵；通过离线 L2 归一化后直接调用 GEMM 点积，大幅降低计算开销与延迟。

推导经过 L2 归一化后，L2 距离与余弦相似度之间的数学等价公式？

为什么在 GPU/SIMD 上执行点积 (Dot Product) 效率远高于未经归一化的余弦距离？

非归一化向量下，为什么点积检索容易受到文本长度和向量模长的严重偏置影响？

余弦相似度与曼哈顿距离 (L1) 在高维稀疏向量（如 BM25/SPLADE）中的选型差异？

主流向量数据库在创建集合索引时，修改 Metric Type（IP vs COSINE vs L2）是否需要全量重建图索引？